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开启数学艺术之旅(一)
1# 风达 发表于 2016-10-1 07:01:36
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“数学是死亡之源,它像入地狱般痛苦。它让孩子想破脑汁,它让家长急得转圈。它让校园死气沉沉,它使生命慢慢离去。生命从数学中走去,一代代死得超快。那是生命的敌人,生命从数学中走去。珍惜宝贵的生命吧,一代代死得超快。数学是死亡之源。”这是2015年2月,一位武汉妈妈发现10岁的女儿写了这首诗,据说是她和班上两个女生一起创作的。她们都对数学不感冒,借此诗抒发忧伤。

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另有一则:当2013年提出新一轮高考改革时,“多地密集出台高考改革方案,有不少省市拿英语开刀。而一个数万人的在线调查显示,七成网友支持“数学滚出高考,除数钱从来用不着”,看来许多人厌恶数学甚于英语。”

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作为数学教育者,深感汗颜:是什么让她们有如此沉痛的感悟?是什么令她们对数学如此厌恶?

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在很多学生的眼里,数学就是数字+符号+定理、公式,然后是草稿纸+埋头苦算。这一切都不过为了升级、升学所不得不承受的负担,只为分数而做、为功利而学。当数学老师们述说着数学的美丽时,更多时候也只是孤芳自赏,学生们似乎未曾因看到某一定理、某一公式的美丽而欣喜,即使是那个史上最美的欧拉公式。

而历史又何其相似。为了表达对数学的不满和嘲讽,英国作家塞缪尔·巴特勒(Samuel Butler,1835~1902)就在著名的讽刺诗《Hudibras》中如此写道:

在数学上,他的成就

比第谷或帕特更伟大;

因为他,利用几何这杆秤,

能把酒壶的大小量不差。

如果面包或黄油缺了斤两

他就用符号和切线来解决它;

利用代数学,他明智地告诉人们

什么时辰,闹钟敲几下

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法国文学巨匠维克多•雨果(VictorHugo,1802—1885)也“未幸免”,他曾用诗歌描述他学习数学的经历:

我是数的一个活生生的牺牲品

这黑色的刽子手让我害怕

我被强制喂以代数

他们把我绑上布瓦贝特朗的拉肢刑架

在恐怖的X和Y的绞刑架上

他们折磨我,从翅膀到嘴巴

……

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直角坐标系成了“绞刑十字架”,对数学的痛恨可见一斑。于是,有人戏言:数学“MATH”原来就是“Mental Abuse To Humans”(人类精神虐待)的缩写。

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数学真的天生就是来“虐人”的?难怪柏拉图说“不懂几何者免进!”也无人吐槽,因为压根就没有多少人想要进去吧?

这些,或许道出了许多学生的心声,也道出了数学那美丽而冰冷的教学现状。

那么,问题何在呢?其实,数学家、教育家们一直以来也没有停止过反思与改革。

早在1893年,美国学者Heppel在改进几何教学协会会议上宣读的一篇论文中,引用下面的诗句来说明当时内容枯燥的数学课本:  

     如果又一场洪水爆发

      请飞到这里来避一下

      即使整个世界被淹没      

      这本书依然会干巴巴

上世纪50年代末至70年代初风靡一时的美国"新数运动",其核心是把中小学数学教学内容现代化,要求从中小学起就要用现代数学精确的数学语言去传授公理化的数学体系,最终以失败告终。

数学教育家M·克莱因(M. Kline,1908~1992,《古今数学思想》的作者)曾就“新数运动”提出过尖锐批判:“数学家花了几千年时间才理解无理数,而我们竟贸然给中学生讲戴德金分割。数学家花了三百年才理解复数,而我们竟马上就教给学生复数是一个有序实数对。数学家花了约一千年才理解负数,但现在我们却只能说负数是一个有序自然数对。从伽利略到狄利克雷,数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念,但现在却由定义域、值域和有序对(第一个数相同时第二个数也必须相同)来玩弄把戏。从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿,没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数,但现在却通过简单的集合思想马上产生了集合这个概念。”

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因此,我们真的有必要重新认识一下数学,至少这一切未必全怪数学本身。而只是我们把数学教错了。


什么是数学?

这个命题简单而复杂,似乎很容易表达,却又很难准确表达。对于大多数同学来说,数学就是从123到6月7,从加减乘除到函数曲线,但,留在记忆里,更多的是残缺的图像和毫无和谐感的公式。

其实,严格地讲,数学作为对于客观现象抽象概括而逐步形成的科学语言与工具,是自然科学和技术科学的基础。19世纪恩格斯曾经站在辩证唯物主义的理论高度,通过深刻分析数学的起源和本质,给数学下过一个定义,即“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。

但是在19世纪末,数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形,很难归入恩格斯的定义。再则,模糊数学的建立,使得数学确定性的数量关系有所丧失。于是人们又考虑数学的新定义:数学是研究客观世界的模式和秩序的科学。环顾四周,我们发现自己就生活在一个由诸多模式组成的世界中:一年四季虽有变化,但周而复始呈周期变化;世界上没有两片完全相同的雪花,但所有的雪花都是六角形的;天气捉摸不透,但呈现一定的规律。我们正用数学重新为这些模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系,从而可以使知识条理化,并揭示自然界的奥秘。



为什么要学习数学?

或许,第一反应还是为了考试。从课堂到考场,最后接下那份年年挨骂却又不停止“虐人”的试卷,然后,就再也不想见到它。这就是我们为数学造下的孽,一个被异化扭曲的数学功能。让我们重新审视,重新迎接新的认识。

首先,当然是因为数学是有用的,直接的或间接的。比如,它可以帮助我们进行计算。中国古代第一部数学专著《九章算术》,是《算经十书》中最重要的一种,是当时世界上最简练有效的应用数学。春秋战国时期,需要丈量田亩、征税、管理土方、要管理各种粮食之间的比例。于是就有我们的《九章算术》。现如今,数学更是已经渗透到各个不同的领域了。它已经无处不在,即使你没有意识到。当你在刷信用卡时,其背后就是数学的精灵“质数”在帮你工作着。当你在用手机、电脑时,背后的程序算法在精确地运行着。即使,你每天回家,走进一个建筑楼,这些结构的背后也是数学。当然,你放心,建筑不会因为你不懂数学而倒塌。

其次,学数学能提高思维能力!英国哲学家培根曾说过“数学是思维的体操”。在古希腊,哲学与数学向来都是彼此契合,共同进步。从某种意义上说,数学即哲学。数学思维指导古希腊哲学走向严谨理智的道路。他们强调严密的推理以及由此得出的结论,他们所关心的并不是这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象的推理,激发人们对理想与美的追求。

“几何学之父”欧几里得(Euclid,公元前330~公元前275)的《几何原本》正是古希腊数学在这方面的最高集大成者。这正是数学的无用之用。它是用以培养一个自由的心灵。希腊人强调,越是高贵、纯粹的科学,越是超功利的、无用的。据说有一天,一个学生才开始学习第一个几何命题,就问,学了几何之后将得到些什么。欧几里得说:“给他三个钱币让他走吧,因为他只想在学习中获取实利。”

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在这里,我们发现东西方文明在不经意间走出了数学价值的两个不同的发展方向。“两点之间可以连一条线”,《几何原本》就是以这样一些显而易见的废话开始的。而中国的《九章算术》肯定不会有这样的表述。

当然,数学就是为了让我们更好的认识这个世界。当我们折一张0.1毫米纸,一次一次,如果这张纸足够大,50次后,就能从地球到达太阳了。直觉认为不可能,但数学会告诉你,这是事实。只是有时,我们太功利,太直接,希望立竿见影,如医学一样。患了癌症,就希望你能直接给我拿掉或换掉。其实,数学作为基础学科,只是在默默地奉献着,很低调。

因此,我们可以说数学没有其它意义,没有其它目的,数学的意义就在于它本身。它本身就是一种文化、一个文明进程中所承载的媒介,先进的数学文化才会推动数学发展,社会发展。就拿百年前的京师大学堂(北大前身)来说,用的数学教科书(李善兰等翻译的吧?),未知数可不是用xyz,而是用天地人。abcd,则用甲乙丙丁代替,阿拉伯数字人家已经用了好几百年,我们还在用一二三四;加减法不用,用一竖一横以示区别。可想而知,数学如何进步,社会如何发展?

来源微信公众号:数学与艺术MaA

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