请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版
 找回密码
 一起学习分形艺术吧!

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 1847|回复: 0
[复制链接]
开启数学艺术之旅(二)
1# 风达 发表于 2016-10-4 07:00:20
分享到:
数学本艺术,愧于我教学

其实,数学除了函数、向量、数列等等才抽象概念外,真的可以很浪漫,也可以很艺术。

开启数学艺术之旅(二)  1.gif

当我们迷茫于那些复杂的方程式时,殊不知它也可以很美,很友爱!

开启数学艺术之旅(二)  2.jpg

如上图,这些隐匿于世界之中的“心”意,向我们表达着来自大自然的柔情;这些隐匿于复杂方程式背后的美丽曲线,向我们传递着来自数学的爱意!

当然,能有如此优美表达形式则归功于伟大的搭桥者——“解析几何之父”笛卡尔(René Descartes,1596~1650)。据说1619年11月10日晚上,笛卡尔连续做了三个印象深刻的梦,按他自己的话说,这些梦改变了他整个生活的方向,也开启了整个数学崭新的篇章,代数与几何从此可以结合起来,那就是解析几何的诞生,因而这天也就成了现代数学的诞生之日。虽然笛卡尔把这个想法公诸于众,还要等上18年。

开启数学艺术之旅(二)  3.jpg
笛卡尔在给克里斯汀上课

或许这个结合实在是太优美了。以至于数学史上至今还流行着笛卡尔有关“心形曲线”的凄美的爱情故事。1650年,52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。不久被国王聘请为做小公主的数学老师。公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进,他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。在笛卡尔的带领下,克里斯汀走进了奇妙的坐标世界,她对曲线方程着了迷。同时,每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。然而,没过多久,他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒,将他放逐回国,公主则被软禁在宫中。回国后,他每天坚持给她写信,盼望着她的回音。然而,这些信都被国王拦截下来,公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后,他永远地离开了这个世界。这最后一封信上没有写一句话,只有一个方程:r=a(1-sinθ)。国王看不懂,便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂,她立即明白了恋人的意图,找来纸和笔,着手把方程图形画了出来,一颗心形图案出现在眼前,克里斯汀不禁流下感动的泪水,这条曲线就是著名的“心形线”。

开启数学艺术之旅(二)  4.jpg

国王去世后,克里斯汀继承王位,登基后,她便立刻派人去法国寻找心上人的下落,收到的却是笛卡尔去世的消息,留下了一个永远的遗憾……  


这个故事显然是虚构的。但人们宁可相信,并乐此不彼,还被引用拍成了百岁山的艺术广告。

不过确实发生的事是笛卡尔搭起了代数几何之间的桥梁,从而开启了数与形之间的天然联系。从此,数学也便有了后天的美感。

除此,你还可能喜欢音乐,因为它那优美而和谐的旋律,那么通过数学,或许我们能找到旋律背后优美而和谐的理由,我们便能从理性的角度欣赏音乐。你可能喜欢绘画,因为它的色彩、它的结构,那么通过数学,或许我们能更好地理解结构背后的美的理由,从而让我们能更理性的分析、欣赏绘画。等等。

下面就让我们通过一些具体而简单的例子,来感受一下数学中的艺术之美,或是艺术中的数学之美。


(一)数学中的艺术

古代哲学家普洛克拉斯就曾宣言:“哪里有数,哪里就有美”;

大数学家克莱因更是说:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切。”

这些都给了数学一个很高的评价。


1.数式之美奇妙无穷

数与式就像数学世界的一个个分子,这些分子和谐地组合起整个数学世界。相信,当见到以下这样的式子时,一定会惊讶于它的形式和构造!不管相不相信,反正它就这样成立了!

(1)(1713+2377+1464)3=171323771464

(2)1663+5003+3333=166500333;

(3)102+112+122=132+142=365;

(4)782+792+802+812+822+832+842=852+862+872+882+892+902

(5)eπ-π≈19.9990999≈20;

“音乐是心灵的算术练习”(莱布尼兹),算式是思维的音乐奏章!或许我们能感受一二。

而要说最早的数字游戏当属幻方了。

“河出图,洛出书”,从此幻方人间数。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”,又叫“纵横图”。如下图,这是澳门发行的幻方邮票之一。右上方为河图原型,龙马背负“河图”,献给伏羲(图右下),伏羲依此而演成八卦。图中间为神龟,背驮“洛书”,献于大禹(图左上),大禹依此治水成功,遂划天下为九州。幻方就是这样神奇的开始的。

开启数学艺术之旅(二)  5.jpg

开启数学艺术之旅(二)  6.png

在我国,南宋数学家杨辉最早将幻方作为一个数学问题来研究。他给出了编造三阶幻方的方法:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维推出,戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足”,并且他还研究了4~10阶复杂幻方的排法和性质。     


幻方因其变幻莫测的性质一直受到各种人的喜爱。中世纪时,欧洲妇女还将它别在胸前,当作护身符的。

下面以三阶为例,如图。

开启数学艺术之旅(二)  7.jpg

用幻方中的1,3,9,7顺时针构造两位数:97,71,13,39,逆时针构造两位数:31,17,79,93。计算器验算出:

97+71+13+39=31+17+79+93;

972+712+132+392=312+172+792+932

973+713+133+393=313+173+793+933

另外,将每列三个数组成一个三位数,由上往下276+951+438=1665,由下往上672+159+834=1665;而且,2762+9512+4382=1172421=6722+1592+8342。每行情况同理。

你还可以自行去发现其他的性质。      


幻方的神奇也令不少人为之着迷。1910年美国有个数学爱好者亚当斯就试图去排出一个六边形的幻方。为了排列起来方便,他特制了19块小板,分别写上从1到19的数字。只要一有时间就排,一次又一次的失败,一次又一次的排。他也由一位年轻人排成了白发苍苍的老人,然而他的六角幻方还是没排出来。1957年他终于在病床上将它排出来了,可惜,他竟然弄丢了那张纸。于是,他又开始重新不停的排。这次上天总算没有辜负他,1962年12月,这位老人总算又排出了这个六角幻方,整整52年。最后经过计算机检验(17秒),发现世上六角幻方仅此一个,如图。因此,这个六角幻方也被誉为数学宝库中的“稀世珍宝”。不过,能以52年代价寻找17秒之价,足见数学之美丽。

开启数学艺术之旅(二)  8.jpg

有关幻方的一般排法研究,其中一个最著名的方法命名来自西蒙德•拉•卢贝尔,17世纪一位法国外交官。他的方法只对行和列数是奇数的幻方有效。方法是:先把1填在一边的中间位置,如图所示,然后沿着对角线(向右上)走,规律是:如果你从上方离开幻方,那么就从下方同样位置进入;如果你从右边离开,那么从左边同样位置进入。按照这个顺序,如果下一个格子是空的,那么依规律填入下一个数字;如果下一个格子已被占据,那么下一个数字就写在前一个数字的下方。依次填完,如图。这是2014年澳门发行的一套幻方系列邮票之一——9澳元。

开启数学艺术之旅(二)  9.jpg

说起这套邮票,也很有意思。这套邮票共10张,除了一张前面提到的12澳元(河图洛书)。邮票的价值分别为1到9澳元,你会发现邮票也被分为三行,如图。第一行三张分别为4,9和2澳元,第二行3,5,7澳元,第三行是8,1,6澳元。换句话说,9张邮票也被设计成一个幻方,一个“洛书”。有创意的构造吧!其中,4澳元上的正是有名的丢勒幻方,后面我们将具体介绍;2澳元的不是幻方,而是神秘的回文字母排列;3澳元上展示的是富兰克林发现的“破碎对角线”;5澳元同样不是幻方,也很神奇,公元四世纪中国诗人苏蕙是回文诗《璇玑图》;7澳元是英国业余数学家李·萨罗斯发明的“几何幻方”。面值分别为1澳元,6澳元和8澳元的三枚邮票由第二年发行,主题分别是“因德尔•塔内加–IXOHOXI 88”、“麦克林托克/奥利伦肖-最完美”和“戴维•科里森-拼布”。

开启数学艺术之旅(二)  10.jpg

基于幻方作为古老的数字游戏,1977年美国发射的旅行者1号、2号宇宙飞船上带去两件与数学有关的礼物一个是勾股数,另一件便是一个四阶幻方:耆那四阶幻方,是至今发现最早的一个四阶幻方。

开启数学艺术之旅(二)  11.jpg


来源微信公众号:数学与艺术MaA

本版积分规则

快速回复 返回顶部 返回列表