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开启数学艺术之旅(三)
1# 风达 发表于 2016-10-6 07:00:53
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2.几何曲线风情万种

如图,这是悬挂的是什么曲线呢?抛物线?当年伽利略也是这么认为的。因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而取名为悬链线。

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这个问题的起源竟然源于达•芬奇的绘画。达•芬奇在绘画时,总要做好各种精确的数学计算,来确定人物的比例结构,以及半身人像与背景间关系的构图问题等。他在绘画《抱银貂的女人》中那条脖颈上悬挂的黑色珍珠项链时,思索过这样一个问题:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?可惜,他最终没有得到解答。

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时隔170年后,数学史上伟大的伯努利家族中的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质(即方程)的问题。一年后,雅各布的努力还是没有结果。不过,让他深感奇耻大辱的是他的弟弟约翰·伯努利竟然只用了一个晚上就成功解决了这个问题(这个神奇的家族,以后专题再谈)。适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数:

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如下图,是不是和抛物线很接近。

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当然,你肯定不会相信介于空中两个平行圆面之间的肥皂膜就是悬链线绕一条轴旋转而成的旋转体。

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其实,大自然就是一位伟大的几何学家,它充斥着各种有优美的曲线,也启发着我们去寻找,去解决。

无处不在的圆、潮起潮落隐藏着周期变换的正弦曲线y=sinα。而美妙的代数式竟然能对应如此完美的曲线。

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当你扔出一块小石子时,一条抛物线就形成了;当我们正静静地在教室里坐着时,各大行星正在以一个接近正圆的椭圆轨迹运行着,而太阳正位于椭圆的一个焦点上,当然,还有黄金螺旋线、最速曲线、分形艺术等等,等待我们慢慢去欣赏,去挖掘、去创造。

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基于大自然的灵感,人类也试图利用各种软件去创造出各种优美曲线。北京大学数学院曾于2012年5月举办“最美解析式大赛”,要求用绘画方式表达数学解析式。可谓牛人辈出、精彩纷呈。最终评选出24个解析式以24幅“美术作品”的形式展现,答题形似美术作品,尽展数学之美。这里,笔者将这些图配以大自然的相似图形,例举一二。

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看到这些美丽的曲线,我们亦会觉得赏心悦目。其实,我们更多时候未必象高斯、陶哲轩这些数学大神一样真正理解数学抽象美的统一性、对称性和简单性,只要我们的内心对数学之美还有某种(直观)直觉就够了。

3.数理逻辑妙趣横生

(1)如下图,你能标准的画出天安门城楼上的国徽吗?

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乍看这个问题似乎很简单。只是再好的绘画师也难以真正标准地绘制这个国徽。可是,因为在国徽的设计中有天安门,而天安门上挂着国徽。(当然,我们这里理解的天安门是挂着国徽的天安门。)

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那么,问题来了,是先挂着国徽的天安门,还是先有画着天安门的国徽?这就成了一个无限的悖论。这个图又如同一个分形几何图一样,你难以穷尽其极。

(2)“我说的这句话是谎话”,是真的吗?

真的?假的?当然,这不是简单的狡辩。这个悖论源于公元前六世纪,克里特人的哲学家埃庇米尼得斯(Epimenides)有名的一首诗:“克里岛的人,人人都说谎,邪恶的野兽,懒惰的胴网!”这句话的精彩就在于它根本就没有答案。如果他是在说谎,那么“我说的这句话是谎话”就是一个谎,因此他说的是实话;但如果这是真话,他又在说谎。矛盾不可避免。你能分析这句话的悖论所在吗?逻辑谬论,奥秘无穷啊!

由此,古今中外演绎出了不少著名的悖论,它们冲击着了逻辑和数学的基础,从而激发了人们求知和精密的思考。解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念,促进数学的发展。就像这个逻辑悖论,后来又演变为“理发师悖论”,即罗素悖论,触发了数学的第三次危机。接着,抽象成了集合论悖论,直到数学家们提出公理化集合论体系,才算弥补了康托尔朴素集合论的缺陷,避免了悖论。最终导致了数学史上的第三次数学危机。

来源注微信公众号:数学与艺术MaA

2# wmnick 发表于 2019-1-16 08:53:56
收藏了,谢谢

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