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开启数学艺术之旅(四)
1# 风达 发表于 2016-10-8 07:00:48
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4.混沌随机精妙绝伦

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上个世纪70年代,美国气象学家洛伦兹(Lorenz,Edward Norton,1917~2008)在解释空气系统理论时说,亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动,也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。即,论述某系统如果初期条件差一点点,结果会很不稳定,他把这种现象戏称做“蝴蝶效应”。

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有意思的是,这个发现本身就源于一次偶然。1963年的某个冬天,他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时,他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入,电脑就会依据三个内建的微分方程式,计算出下一刻可能的气象数据,因此模拟出气象变化图。这一天,洛伦兹想更进一步了解某段纪录的后续变化,他把某时刻的气象数据重新输入电脑,让电脑计算出更多的后续结果。令他惊讶的是,结果和原数据两相比较,初期数据还差不多,越到后期,数据差异就越大了,就像是两笔完全不同数据。而问题仅仅是他输入的数据差了0.000127。

下面我们利用EXCEL来模拟一下这个美妙的过程。

我们来计算函数值f(x)=x2-2,将得到的结果再迭代计算。比如初始值设为0.5,于是就会得到如下左表格数据。如果正负号代表晴天和雨天的话,那根据这个数据表就一目了然了。接着,调皮的你做了个小小的手脚,如下右表格将初始值0.5改成0.50001,我们惊奇的发现,在迭代计算19次后,数据已经面目全非,晴雨天气截然相反了。

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最后,我们还可以试试,在上左表格中复制第10个数据0.846107103,然后粘贴到另外一列中,你一定会觉得复制粘贴的过程不会有任何变化,但事实还是令人目瞪口呆了。如下表格,在迭代计算48次后数据有呈现相反混沌变化了。不,计算机没问题,你能发现问题所在吗?

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真正是“差之毫厘谬以千里”!似乎确定性就此终结了。

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但问题往往不是绝对的。1777年的一天,法国数学家、自然科学家蒲丰(Comte de Buffon,1707~1788)邀请宾朋们来家做客,并参加他的一项游戏实验。他事先在取一张白纸,如图,在上面画上许多条间距为a的平行线。接着他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半。然后,蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧!”朋友们就按他说的做了。这时,在纸面上,针要么与平行线相交,要么不相交。

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蒲丰开始统计结果:大家共掷3408次,其中小针与纸上平行线相交1808次,3408÷1808≈3.1415929。最后他宣告:“这就是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值,而且投掷的次数越多,求出的圆周率近似值越精确。”即,π的近似值=投针总次数∶相交次数。这就是著名的“蒲丰试验”。

是不是不可思议?投针随机混沌一片,却意外地产生一个与π相关的近似值。说明一下,上面这个数据是1901年意大利Lazzerini耐心投掷出来的结果。而有关这个公式的证明,有兴趣的同学可以参看数学侠客顾森著的《思考的乐趣》一书中的相关内容。     

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5.无穷悖论荒谬神奇

无限的问题在数学史上往往常常被转化为有限问题来解决。最经典的莫过于圆面积的求法了。从开普勒的割圆术到刘徽利用正多边形逼近法,都试图从有限的方式来解决无限问题,直到微积分从出现。

但下面这个问题没有那么简单。请问:是正整数集合 {1, 2, 3, 4,⋯⋯}中的元素多呢?还是它的平方数集合{1, 4, 9, 16, ⋯⋯}中的元素多呢?这是比较两个集合的大小问题。这可是高中数学一开始我们就接触的一个比较简单的概念“集合”。

这不是显然的吗?事实上,这可是物理学家伽利略在他的最后一本科学著作《两种新科学》(Two New Science)中提到的一个问题。这可不是中学所学的集合知识能解决的了,因为它是无限集合。伽利略比较早使用了另一个重要的思想——一一对应来解决。可惜他没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是,无限集是无法比较大小的。最后由德国数学家康托尔(Cantor,1845~1918)创立里集合论才真正解决了这个问题。在集合论中产生了一些不合直观常理的结论,比如:无限集合也有“大小”;部分可以等于全体等。

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若是利用一一对应来看上面提到的问题中,则会发现任意一个正整数n,都有一个它的平方数n2与之对应。但显然,平方数集合{1, 4, 9, 16, ⋯⋯}又是正整数集合{1, 2,3, 4, ⋯⋯}的一个子集。这就是说,部分可以和全体一样多。

又比如:图中的两条线段,哪条线段上的点多呢?同样地,如图29右边图,建立一一对应关系,我们会发现两条线段上的点也是一样多。甚至,还可以建立一一对应关系,以说明“直线上的点与平面上的点一样多”。不妨试试!  

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因此,“有限”时成立的许多命题,对“无限”不再成立。若简单使用了,有时结论还会很诡异。比如问:这个式子“1 − 1 + 1 − 1 +……”结果是多少?你可能认为是0。因为从第一个开始,加1,减1,不就抵消了吗?你也可能得出结论为1。因为留下第一个1后,第二个开始,减1,加1,正好抵消,不就是1了吗?那就折中取。怎么可以这样取?对,不可能,但能证明。假设所求结果为S,于是有两个式子相加,得到2S=1,所以S=0.5。是不是很神奇?其实,这是有名的格兰迪级数(Grandi's series),早在1703年由意大利数学家格兰迪提出的,当时可是造成了很大的争论,包括大数学家欧拉也给出过的结论。由此,还演绎出了一个更有趣的结果:所有的自然数之和为负数。这,怎么可能?那就让我们来看下面这个有趣的视频,它将讲述这件神奇的数学趣事。

56在线观看:http://www.56.com/u29/v_MTA0NTk5Mzcw.html

总之,数学之美,美在那合乎人心的对称与和谐,美在那探寻其过程的跌宕起伏,美在那一刻的茅塞顿开,美在各维度的一题多解,美在概括式的多题一解,美在那小题大做,美在那大题妙解,还美在那有着永远也解不完的无穷谜团!

来源微信公众号:数学与艺术MaA


2# wmnick 发表于 2019-1-16 08:52:55
收藏了,谢谢

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