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开启数学艺术之旅(五)
1# 风达 发表于 2016-10-10 07:01:06
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(二)艺术中的数学

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以上几篇我们尝试从欣赏的角度看数学,会发现数学其实也可以很艺术。那么又何为艺术呢?我无法给出一个定义。它可能是自然界的一朵花;它可能是一幅画;它又甚或是一段优美的音乐。特别是后现代艺术,当一名画家将一块空白画布公开展览时,当作家将打字机自动敲出的符号当作小说发表时,当钢琴大师将静默的4分33秒作为作品演奏时,艺术也便产生了。艺术似乎也做了无用的呈现。在这点上,两者之间似乎有了共通。

而且,数学家们倾其一生要将数学转变为一门艺术,艺术家们不断在数学中发掘通向精神世界最深处的奥秘。在这点上,数学与艺术表面上风马牛不相及的两个领域开始有了千丝万缕的联系。我们试图做些解读,即使还有些牵强。

1.大自然的数学艺术

大自然是位伟大的“最优化专家”,它在人类认识它之前,就以黄金比,斐波那契螺旋等等呈现它的优美和最优结构。而我们只是向大自然攫取着我们的所需,建立数学模型。

蜜蜂的蜂巢是六边形的。4世纪古希腊数学家佩波斯就提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,这个截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为“蜂窝猜想”,但这一猜想一直没有人能证明。

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蜂窝是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢时,工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡,每片只有针头大小而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置,以形成竖直六面柱体。每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小。6面隔墙宽度完全相同,墙之间的角度正好120度,形成一个完美的几何图形。人们一直疑问,蜜蜂为什么不让其巢穴呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面,而不是曲面呢?虽然蜂窝是一个三维立体建筑,但每一个蜂巢都是六面柱体,而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关。由此引出的一个数学问题,即是寻找面积最大、周长最小的平面镶嵌图形(用圆镶嵌是有空隙的)。  

经过1600年努力,数学家们终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。那么,空间结构怎样最优呢?至少到目前为止,还是最具代表性的全新膜结构国家游泳中心“水立方”。

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在某些方面,人类是远不如某些动物本能性的“聪明”,大自然给予我们的不仅仅是食物,让我们生存;还有更多的智慧、思想和启迪,让我们思考、模仿和创造。

人类啊!别自大,向大自然学习吧!


2.绘画中的数学之美

数学与绘画的结合算是最古老的。笔者试着以三种形式进行探讨,了解数学渗透到绘画艺术中的方法,以及艺术作品中所蕴含的数学内容和意义。

(1)数学是作为艺术的工具利用

这方面最典型的莫过于黄金分割和透视法。黄金数源于古希腊数学,而兴起于文艺复兴时期,黄金比例被达芬奇等艺术家的广泛运用,几乎成了美学的无上标准,影响了整个欧洲的建筑和绘画艺术,并延续至今。同样地,基于绘图学和建筑学的需要,古希腊几何学家也已经开始研究透视法,也就是投影和截影。而透视法就是把几何透视运用到绘画艺术表现之中,是科学与艺术相结合的技法。它主要借助于近大远小的透视现象来表现物体的立体感。在欧洲文艺复兴时期得到蓬勃发展。不过真正形成独立体系,直到十九世纪才趋于完备。形成几何学的一个重要分支学科——射影几何学。

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(2)数学元素渗透在作品中

这类作品中往往包含些几何线条或某些数学知识等。比如丢勒的铜版画《忧郁》(Melencolia)中的幻方、埃舍尔的不可能图形、拉斐尔的油画《雅典学院》中的各数学家等(以后专题奉送)。

俄裔法国画家艺术理论家瓦西里·康定斯基(Wassily Kandinsky,1866~1944)是抽象艺术的先驱。他曾说:“数是各类艺术最终的抽象表现。”因此,在他的画中活跃着各种几何元素,他用这些元素来表达音乐和其他抽象概念。如在1923年作的《第八乐章》(Composition VIII)画里,绘画、几何和音乐得到了完美地融合。

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和康定斯基同时代同地域俄国艺术家卡西米尔.塞文洛维奇.马列维奇 (Kasimier Severinovich Malevich,1878~1935),在几何语言的抽象艺术走的更远。他认为世间万物都可以用基本的几何图形表示。他的作品《白色上的白色》(White on White,1918)和《黑方块》(Black Square,1915)除了方形,还是方形,几乎彻底抛弃了色彩的要素,白色成为光的化身,而这里“无”成为了至上主义最高的绘画原则。

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(3)以艺术的形式表现一个数学主题的

这类作品主要是为了反映某一时期的数学或者数学家的情况的作品。比如《算术女神》就是为了反映中世纪欧洲数学的变革情况。以后也将专题阐述。

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3.跨越文学与数学的鸿沟

数学是理性的,文学是感性的。但不是对立的。Martin Dyck说:数学代表收敛的创造性,文学代表发散的创造性。数学与文学乃是“互补的事业”。著名数学家谷超豪院士也曾说:“在我的生活里,数学是和诗一样让我喜欢的东西。诗可以用简单而具体的语言表达非常复杂、深刻的东西,数学也是这样。1除以3,可以一直除下去,永远除不完,结果用一个无限循环的小数表示出来,给人无穷的想象空间。”

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伯特兰·罗素(Bertrand Russell,1872—1970)是二十世纪英国哲学家、数理逻辑学家,与怀特海合著的《数学原理》被公认为现代数理逻辑这门科学的奠基石,被誉为是人类心灵的最高成就之一。1950年,罗素凭《婚姻与道德》、《西方哲学史》获得诺贝尔文学奖,以表彰其“多样且重要的作品,持续不断的追求人道主义理想和思想自由”。有意思!他也算是数学家中最会写的,也是文学家中数理逻辑最好的。可惜的是,《数学原理》叫好,不叫座。1910年,《数学原理》的手稿装了两个箱子,用四轮马车运到剑桥大学出版社后,出版社评估出此书会亏600英镑,他们愿承担一半。皇家学会慷慨解囊,赞助了200英镑。最后100英镑摊派到作者头上,每人交50。后来,罗素在自传中感慨道:我们用10年的工作每人赚了负50英镑。

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其实,集文学家、数学家于一身的不乏其人。   

波斯诗人、数学家、天文学家欧玛尔·海亚姆(Omar Khayyám,1048 ~1122)也是其中的佼佼者。他于1070年写下《代数学》,阐释了代数的原理,令波斯数学后来传至欧洲,最大的成就是用圆锥曲线解三次方程,开创了代数几何。而同时,他的诗集《鲁拜集》(即四行诗)曾风靡世界。胡适、郭沫若都曾翻译,引进中国。像“树荫下放着一卷诗章,一瓶葡萄美酒,一点干粮,有你在这荒原中傍我欢歌荒原呀,啊,便是天堂!”这样的诗句读来如李白豪放不羁,迎风且吟,充满想象力和才气。

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法国最伟大的数学家之一亨利·庞加莱(Henri Poincare)堪称数学史上最后一位全才了,但他还是法兰西学士院院士,这是法国杰出的关于法国语言的学术团体(像文学院)。据说,在美发店里,家庭主妇和姑娘们广泛阅读他写的许多通俗著作。这可不是不务正业,他的数学论文也是很精彩的。

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著名童话《爱丽丝漫游奇境》的作者查尔斯·道奇森(CharlesLutwidge Dodgson,1832~1898),笔名刘易斯·卡洛尔,也是个很有意思的人。他是维多利亚时代牛津大学基督堂学院的数学讲师,研究过矩阵运算与符号逻辑。他患有严重的口吃,不过不影响他讲故事。有一次他在船上给院长利德尔的女儿爱丽丝讲了一个小故事,后来,他把这个故事写成了《爱丽丝地下历险记》的手稿,赠送给爱丽丝。这部手稿只有一万八千字,其中插图也系作者自画。后来再加工为《爱丽丝梦游仙境》与其续集《爱丽丝镜中奇遇》。书中利用怪诞的数学逻辑反映一个荒谬的世界。据说,维多利亚女王很着迷,就说:以后只要是卡洛尔的书,都要送给她看。谁知,卡洛尔的下一本竟是《行列式初论》,可以想象,当女王拿到这本天书时的感受是多么失望和惊奇!马丁·加德纳说他是数学家中最畅销的作家。

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卡罗尔和他拍摄的少女照片(爱丽丝原型)


在《爱丽丝漫游奇境记》中充斥着各种数学概念。在第二章中,爱丽丝背起了乘法口诀:“四五一十二、四六一十三、四七一十四、......啊,照这么背下去,永远也得不到二十啊!”你知道这个乘法口诀是怎么回事吗?怎么会得不到二十,能验证一下吗?

我国数学大师华罗庚(1910~1985)先生对文学也有强烈爱好,他一生做诗上百首,著有《华罗庚诗文选》,还十分擅长即兴作对联。一九五三年,科学院组织出国考察团,由著名科学家钱三强任团长。团员有华罗庚、张钰哲、赵九章、朱冼等人。途中闲暇无事,华罗庚提出上联一则:“三强韩、赵、魏,”求对下联。这里的“三强”是战国时期韩、赵、魏三国,却又隐喻着团长钱三强,这就不仅要解决数字联的传统困难,而且要求在下联中嵌入另一位科学家的名字。隔了一会儿,华罗庚见大家还无下联,便将自己的下联揭出:“九章勾、股、弦。”《九章》是我国古代著名的数学著作,又恰好是代表团另一位成员、大气物理学家赵九章的名字。华罗庚的妙对使满座为之倾倒。

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文学与数学绝非是孤立的。即使是小时候有关“恐数症”的雨果也曾说:“数学到了最后阶段就遇到想象,在圆锥曲线、对数、概率、微积分中,想象成了计算的系数,于是数学也成了诗。”伏尔泰则更进一步说:“阿基米德脑海里的绮思遐想,比荷马的要多得多哟!”

当然,影视艺术、音乐、摄影艺术、建筑艺术、舞台艺术等等都少不了数学。我们将不断挖掘和赏析。

罗素在其自传中回忆他青少年时期的一场危机:“有一条小路,穿过田野,通向新南盖特,我经常独自一人到那里去观看落日,并想到自杀。然而,我终于不曾自杀,因为我希望更多地了解数学知识。”

虽然我们不能如罗素这些大师们一样如此虔诚地皈依数学,但不妨碍我们欣赏和领会数学之美。

数学中缺少的不是美,而是理解美的心灵!让我们继续数学艺术之旅!


来源:微信公众号:数学与艺术MaA

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