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《银河护卫队2》中的数学之美:分形(Fractal)
1# 风达 发表于 2017-12-26 07:00:26
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前几天看了漫威新作《银河护卫队2》。除了感叹前半段挖了那么多坑最后还能圆回来之余,还有一个细节让我十分激动,即这部电影对分形(Fractal)这个概念的大量应用。不忍漫威的精心制作被忽视,于是写下此文简单介绍一下分形。

放心,本文不会有剧透,反而说不定会成为你二刷的理由。

《银河护卫队2》中出现的分形


先放两张电影剧照。

银河护卫2 分形之美 (0).jpg
来源  银河护卫队2

银河护卫2 分形之美 (6).jpg
来源  银河护卫队2

已经看过影片的朋友应该知道,上面几张图位于一颗叫 Ego 的行星内部,而这颗行星其实就是星爵他爸,因为他爸是天神族,能控制周围的粒子,于是把自己搞成了一颗行星(这不算剧透的)。

这里的关注点应该放在背景上,银河护卫队背后远处,和树人小格鲁特脚下,那种很多孔洞,像海绵一样的结构。

这种结构有自己的名字:分形(Fractal),这是数学中的一个概念。

下面这种圆孔状的繁复镂空的,以及《银河护卫队2》中的类似的结构,正是分形的一种表现形式。

银河护卫2 分形之美 (9).jpg
来源  wallhaven


银河护卫2 分形之美 (14).jpg
来源  sub.blue
可以仔细对比一下这种结构和下图中,星爵远处的那些构造的异同之处。

银河护卫2 分形之美 (4).jpg
来源  银河护卫队2
《银河护卫队2》中 Ego 行星上出现了大量的分形,比如下图大厅的地面图案也是分形的一种二维图案表现。


银河护卫2 分形之美 (3).jpg
来源  银河护卫队2
不得不承认漫威这次对分形的应用彻底俘获了我,Ego 星球上,各种各样的分形,很好的表现了那种,宇宙的无穷之美。

或许你在看《银河护卫队2》这部太空歌舞片的时候并没有注意到这个细节,又或许你还没来得及观看,没关系。你可以看看下面这部短片,体验一下分形的美感。

腾讯画质压缩的太厉害,沉浸感大减,建议感兴趣的找原片看。


《Our Fractal Brains》From Julius Horsthuis, Vimeo

下面开始解释,什么是分形。

概念之前 —— 无穷


在进一步解释分形之前,需要先引入无穷这个概念。

银河护卫2 分形之美 (15).jpg
来源  暴走漫画

这张暴漫图火过好一阵子,乍一看,也许你会觉得上面的方法没什么不对,又或者觉得有点怪怪的但说不出为什么。

其实这里很巧妙的利用了我们对无穷这个概念的一个感知误差,把感觉不到的无穷小说成了没有,其实不管上面怎么切割,外面的正方形始终是锯齿状的,永远不会变成圆。

可以通过下面几个例子,感性的理解一下无穷。


银河护卫2 分形之美 (4).gif
来源  Dave Whyte

这张动图是 Dave Whyte 的一张作品,他的作品以那种平滑的变化和循环著称。借用他的作品来感受无穷就是,把上面的螺旋形想象成一个隧道,而我们在往里走,只是永远到不了终点。

银河护卫2 分形之美 (10).jpg
来源  盗梦空间
《盗梦空间》中的这个场景,位于两面镜子之间,经过镜面的反射,街道变得无限延伸,也有无穷的感觉。


银河护卫2 分形之美 (11).jpg
来源  超感猎杀
还有一个类似的例子就是直播画面中经常出现的,这种屏幕不断嵌套的画面。

高中写作文经常引用的“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”讲的也是无穷这个概念。


银河护卫2 分形之美 (0).gif
来源  Dave Whyte

对无穷的概念有了感觉之后,分形就很容易理解了。

从科赫雪花 (Koch 曲线)开始说起

银河护卫2 分形之美 (12).jpg
来源  Matrix67
这是很一个经典的分形图案,科赫雪花 (Koch 曲线)。它的构成为三条相同的线条:

银河护卫2 分形之美 (5).jpg
来源  Matrix67

银河护卫2 分形之美 (5).gif
来源  WhyEngine
这最早由瑞典数学家 Helge von Koch 在1904年提出的。随着不断的迭代,线条每一次都会增加其原有长度的三分之一,无穷次这种变化之后,这条线条的长度会变成无限长。

而这种以一个简单的图形为起点,通过一定的规则不断迭代最后生成复杂的图案,便是分形的一种主要创作方式。

其他的分形图案


继续借用 WhyEngine 的动图,来看另外两个常见的分形图案。

银河护卫2 分形之美 (3).gif
来源  WhyEngine

银河护卫2 分形之美 (2).gif
来源  WhyEngine
其实上面这个三角形的分形图案就已经很类似《银河护卫队2》那种镂空构造了,区别在于基础图形,一个是圆形,一个是正三角形。

银河护卫2 分形之美 (7).jpg
来源  David Crooks

分形的领域很大,除了上面几个简单的平面上的例子。还有其他无数的,平面的或者立体的,繁复美丽的图案。感兴趣的可以自行搜索 Fractal 欣赏。

银河护卫2 分形之美 (17).jpg
来源  sub.blue

银河护卫2 分形之美 (8).jpg
来源  sub.blue

银河护卫2 分形之美 (1).jpg
来源  wallhaven

银河护卫2 分形之美 (2).jpg
来源  wallhaven

曼德博集合 (Mandelbrot set)


讲到分形,就不得不提到曼德博集合,这是以分形几何学的创始人 Benoit Mandelbrot 为名的一个点的集合,它以图片形式闻名:


银河护卫2 分形之美 (16).jpg
来源  wiki

这就是把曼德博集合在复平面上染色之后的图片,虽然表面看起来仅仅是有点炫酷,但神奇之处在于,无论你把这张图放大多少倍,它依然有着很精妙的细节和变化。


银河护卫2 分形之美 (1).gif
来源  giphy
要理解这张图的生成,可以借用画函数图的概念:除了我们熟悉三角函数的图像,还有一些能画出好看图形的函数,比如:

银河护卫2 分形之美 (0).png
来源  马同学,知乎
而曼德博集合和画函数图不同的地方在于,它是一个集合,集合中元素的关系为:

银河护卫2 分形之美 (1).png

这里的 z 是一个复数,c 是一个常量,而不同的复数对应的曼德博集合,发散和收敛的程度不一样,以这种程度为基础,来给对应的 z0 (第一个元素)在复平面上的点画上不一样的颜色,最后就形成了最终的可以无穷放大的,之前那张曼德博集合图形。

看不懂没关系,总之很酷就是了,通过简单的规则,最后能生成这么美妙的图形。


银河护卫2 分形之美 (18).jpg
来源  wiki

这里有一个短片,介绍了曼德博集合的内容和研究过程,里面有一段很震撼的曼得博集合的图像放大过程,值得一看。


《The Mandelbrot set》From TheBITK, Youtube

可以直接跳到第 13 分钟看曼德博集合的图像放大过程,第 14 分钟的时候注意感受右下角的比例尺的变化。

先驱们刚开始研究这个集合的时候,计算机刚出现不久,下图是计算机第一次打印出的曼德博集合的图形。

银河护卫2 分形之美 (2).png
来源  wiki

谁又能知道,这些个点点后面竟然蕴含那么多东西。再往前想,人们最初提出虚数的概念的时候,又会不会想到,这个字母i里面,竟然会藏着一支银河护卫队。


分形的应用


曼德博先生在确立分形几何学这个学科的时候,对分形的定位就是,在纯数学的完美的序(如欧几里德几何,微积分),和纯粹的不受控制的混沌领域(如布朗运动)之间,研究自然中的,虽然复杂但又有规律可循的领域。

这点从他《形、机遇、和维数》一书中的用来举例的自然对象就可以看出来:海岸线、月球上的陨石坑、肥皂泡、星球分布等。就像刚刚提到的科赫雪花,也曾被用来模拟海岸线的形状。


银河护卫2 分形之美 (13).jpg
来源  baidu

其实自然中很多事物都有着分形的感觉,像闪电,叶脉等等。分形的应用除了计算机图形学,在其他领域也有很多研究于应用。

当然分形最吸引我的还是那种图形的繁复与无穷感,它让我感受了到那种无以言表的美感。就像百度百科说的:

分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义。

后记


虽然我也曾被高等数学中等价无穷泰勒公式什么的虐的很惨,但我依然觉得数学是个很好玩的东西。我觉得,除了这种视觉上的美感,数学本身就是对存在的一种哲学探索。

当我们的对外界的认知从 “日出而作, 日入而息” 到 “一秒钟即铯原子跃迁震荡9192631770次所用的时间” ,当我们的视野从周边的生活延伸到《银河护卫队2》中奇妙的宇宙分形,我感觉到了一种,嗯,就是那种感觉。



来源  银河护卫队2


PS. 第一次试着写这种偏向科普的文章(其实主要的工作是搬运),如果文中有什么错误或者不严谨的地方,欢迎指正。喜欢的也欢迎转发下嘻嘻。

来源:微信

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